Народився 23 жовтня 1978 року в Одесі. У 1995 році закінчив гімназію № 1.
У 2001 році закінчив Одеську національну морську академію за спеціальністю — «судноводіння», отримавши кваліфікацію інженера-судноводія. 2007 року закінчив Одеський державний економічний університет за спеціальністю «економіст».
У 2009 році закінчив Одеський регіональний інститут державного управління при президентові України за спеціальністю «державне регулювання економіки та підприємництва».
З січня 2010 року — здобувач на кафедрі цивільно-правових дисциплін економіко-правового факультету Одеського державного університету ім. І. І. Мечникова.
З вересня 2002 по листопад 2003 року працював юрисконсультом у товаристві з обмеженою відповідальністю «Паллада», Одеса.
З листопада 2003 по березень 2006 року обіймав посаду начальника юридичного відділу в приватному підприємстві «Тандем Плюс», Одеса.
З березня по грудень 2006 року був заступником директора з юридичних питань у приватному підприємстві «Альтаїр», Одеса.
З грудня 2006 по березень 2007 року працював заступником директора юридичного департаменту в товаристві з обмеженою відповідальністю «Валентин», Одеса.
З березня 2007 по вересень 2008 року працював у Державній податковій інспекції у Центральному районі міста Миколаїв на посаді заступника начальника інспекції.
З жовтня 2008 — листопад 2010 року — заступник начальника Одеського міського управління юстиції.
З листопада 2010 року є директором юридичного департаменту товариства з обмеженою відповідальністю «Нерум».
У 2012 році спалахнув один з перших скандалів. Стало відомо, що частина набережної навколо дельфінарію «Немо» — приватна власність п'яти осіб (засновників «Неруму», серед яких і сам Кісловський).
https://dumskaya.net/news/suki-skommunizdili-langeron-023541/ua/
Облаштування паркування біля його дельфінарію, заради якої довелося пожертвувати деревами на схилах, та й самим схилом, місцями, викликало бурхливу реакцію одеситів. Активісти провели кілька мітингів. На одному з них Кісловському довелося буквально рятуватися втечею.
У травні 2015 року став заступником військового комісара Приморського районного військкомату Одеси — начальником відділення комплектування.
Є співвласником дельфінарію «Немо».
Кандидат у майстри спорту з боксу.
Обирався депутатом Одеської міської ради ІV і VІ скликань. Був членом фракції Комуністичної партії.
З 2015 року — депутат Одеської міської ради VII скликання, член фракції «Довіряй справам». Входив до складу постійної комісії з питань транспорту, дорожнього господарства, зв'язку та морегосподарського комплексу.
У 2017 році Кісловський став піонером «бусифікації», його підлеглі відловлювали студентів недалеко від вишів і гуртожитків і силою утримували їх у військкоматах.Вишенькою на торті цієї спецоперації стало використання мікроавтобусів дельфінарію.
2018-го бізнесмен-дельфіновод і заступник військового комісара Приморського району Одеси Андрій Кісловський став фігурантом кримінального провадження за статтею про самовільне залишення місця служби (частина 1 ст. 407 КК України).Самовільне залишення правоохоронці угледіли в поїздках Кісловського на засідання столичних судів у «справі Краяна», де він підтримував мера Одеси Геннадія Труханова.
У 2020 році обраний депутатом Одеської міськради восьмого скликання від партії «Довіряй ділам».
Одружений (кілька разів подружжя мало намір розлучитися, але щоразу забирало заяви). Виховує сина та доньку.
Серед його будівельних інтересів — ЖК на місці кортів біля парку Шевченка. Подейкують, що в скандал із затриманням у власному готелі він потрапив якраз після відмови представникам СБУ дати квартири в будинку на Лідерсовському бульварі. Причому відмова, яку СБУшники отримали через Офіс Президента, за чутками, була максимально різкою.
Ще одна больова точка — будинок на Степовій. Дозвіл на будівництво там скасовано. Раніше правоохоронці цікавилися й відчуженням цим під цим об'єктом. Формальна причина — у Кісловського був дозвіл лише на реконструкцію кількох квартир, а він замість цього вигнав цілий будинок. Справа була так, прокуратура звернулася до суду і виграла справу. За рішенням суду, дозвіл на будівництво скасували, а забудовника зобов'язали знести об'єкт.
Крім того, будівельну фірму Кісловського підозрюють і в ухиленні від сплати податків (ч. 3 ст. 212 КК).У 2018 році його компанія придбала на аукціоні руїни шедевра Бернардаці, так званого Масонського будинку. Зобов'язавшись відновити будівлю протягом кількох років. У 2021-му році «Одесабуд» навіть погодила ескізний проєкт реставрації. Однак до робіт так і не приступила. Прокуратура домагається розірвання договору купівлі-продажу, проте в першій інстанції вже програла.
Подейкують, що у нього зберігся і бізнес у Криму.